「私の偏差値は93万です」と言う東大生を数学的に論破する方法

とつげき東北🌤️

2021/12/24 17:21

目次
<h2>「私の戦闘力は53万です」</h2> <p><img src="https://assets.st-note.com/production/uploads/images/38852335/picture_pc_9160619dcf40811857f4a1637405e7e7.jpg" alt="私の戦闘力" height="307" width="308" style="opacity: 1;"></p> <p>こちら、言うまでもなく<strong>超名作『ドラゴンボール』</strong>(鳥山明先生,集英社,24巻,pp140)が描いた名場面、<strong>フリーザが自分の「戦闘力」を誇らしく発言</strong>する場面。</p> <p>「戦闘力」というモノが、どうやって測られているのかは謎なので、これはもう信じるしかないけど、もしも東大生にこう言われたらどうしよう。</p> <p><img src="https://assets.st-note.com/production/uploads/images/38852402/picture_pc_bccd6f51fc3df167107db2eb0f82e383.jpg" alt="画像13" height="316" width="620" style="opacity: 1;"></p> <p><br></p> <p><strong>だいぶ高いなお前!</strong></p> <p>東大でも<strong>オーバーキルしすぎ</strong>やろ。</p> <p>あと、なんでそんな恰好しとんねん。</p> <p><strong>いくら東大でも浮くやろ</strong>それ。</p> <h2>とりあえず問題だけ出しておく</h2> <p><strong>この項目は趣味なので、興味ない人は飛ばしてね(´ω`*)</strong></p> <p><br></p> <p><strong>問題</strong>:(確率の問題、大学入試程度、難易度は旧帝大・早慶理系で標準)</p> <p>ある試験を<strong>n人</strong>の受験者が受験する。受験者は<strong>0点~100点</strong>の間のいずれかの整数値の得点を取る。このとき、<strong>偏差値1000以上となる受験者</strong>が出現するための<strong>nの最小値</strong>を求めよ。</p> <p><br></p> <p>答えは有償部分で。</p> <p>正直、これ解ける人はかなりできると思う。</p> <p><br></p> <p>ただし、以下の記事を読むとほとんど解けてしまうので、クイズとして挑戦してみたい方は、この問題を考えてから、以下に進んでください。</p> <p><br></p> <h1>偏差値って何(これも興味なければ飛ばして)</h1> <p><br></p> <p><strong>「偏差値」</strong>と聞くと、ちょっと<strong>ネガティブなイメージ</strong>湧きません?</p> <p><strong>「お勉強のできる量」</strong>みたいな感じで、相手が高いと自慢してきたり、自分が低いと悲しい思いをしたり。</p> <p>なんか<strong>「この日本の学歴社会の象徴だわッ!」</strong>的な。</p> <p>……うん、わかるけど<strong>日本はまったく学歴社会じゃない</strong>からな。</p> <p>フランスとか、マジでどのグランゼコールを出ているかのみで、どんな仕事に就けるか、生涯の収入はいくらかが確定する。<strong>実力とかほぼ関係ない。韓国や米国も学歴社会だ。</strong></p> <p><strong>日本は</strong>東大出ていなくても大臣になれるのだから、<strong>ほとんど完全な実力主義社会</strong>やで!</p> <p>それは置いておくけど、<strong>「偏差値」は別に、「お勉強」にだけ使うわけではない</strong>んよ。</p> <p>理系で研究してる人や経済学系の勉強してたら、色々な分野で「z点(≒偏差値)」を使うことになる。</p> <p><img src="https://d2l930y2yx77uc.cloudfront.net/production/uploads/images/11911583/picture_pc_4efa5c3470e573e010089e835b5be40a.jpg" alt="画像3" height="299" width="620" style="opacity: 1;"></p> <p>何か、たくさんの対象の量を測って、それぞれの量がどれくらいになる回数はどれくらいか、というのを<strong>図にしてみると、こんな風になることがよくある</strong>(例えば、日<strong>本人男性の身長</strong>とか、他にも、<strong>特定の放射性同位元素が崩壊するまでの時間</strong>とか)。</p> <p>上の図の横軸に「1σ(シグマ)」とか「2σ」とか書いてあるやつ。</p> <p>これは、<strong>真ん中の「0」からどれくらい離れているか</strong>を表し、<strong>1σだと偏差値換算で+10、2σだと偏差値換算で+20</strong>だ。<strong>真ん中の「0」のところが偏差値50。</strong></p> <p>日本人男性の平均身長が例えば170cmで、σ(ばらつきの大きさを表す指標)が5cmだったとしたら、<strong>身長180cmは170+2σなので「偏差値70」</strong>の身長だということになり、図を見れば、<strong>上位2.2%くらい(厳密ではない)</strong>だとわかる。</p> <p>こういうのを用いて、品質管理をしたり、色々な統計検定を行う。</p> <p><br></p> <h1><strong>偏差値は、「みんなの点数のばらつきや平均」で変わる</strong></h1> <p><br></p> <p>少し「お勉強の偏差値」に戻すか。イメージが沸くので。</p> <p>偏差値の計算式などは後で書くけども、ともあれ、次のことを覚えておいてほしい。</p> <p><strong>(1)偏差値は、受験者全員の平均点と、自分の点数との差に依存する</strong></p> <p><strong>(2)偏差値は、受験者それぞれの点数の、平均からのばらつき具合に依存する</strong></p> <p><strong>(3)平均からのばらつき具合は、受験者の数に依存する</strong></p> <p><strong>(4)偏差値は、平均とばらつきにだけ依存し、点数そのものには依存しない</strong></p> <p>例えば(1)。<strong>平均点が50点のテストで、80点もとれたら、恐らく偏差値は高い</strong>。それに比べて、<strong>平均点が80点のテストで80点なら、たぶん「普通=偏差値50」</strong>となる。</p> <p>(2)。受験者が色々ばらついた点を取っていると、少々良い点数を取れても、偏差値は高くなりにくい。これはわかりにくいかな。一番わかりやすい例で言うと、<strong>「受験者で、自分以外全員0点、自分だけ100点」なら、圧倒的に自分がすごい</strong>ので、高い偏差値になりやすい。</p> <p>(3)受験者の点数のばらつきを計るために、人数が関係してくる。たった2人で比較するなら、ばらつきは少な目になるだろうけど、1万人でテストを受けたら、そりゃ相当できない人やできる人がいて、ばらつきが大きくなる傾向がある、ということ。</p> <p>(4)は、偏差値は、100点満点のテストでも、1000点満点のテストでも、「平均」と「ばらつき」と自分の点数との関係性で計算されるから、<strong>同じ「100点」と言っても、「100点満点のテスト」なら高めに出るだろうし、「1000点満点のテスト」ではそうじゃないだろう</strong>、ってこと。</p> <p><br></p> <h1>とりあえず東大生を完全論破しておこう</h1> <p><br></p> <p>ある<strong>テストの受験者数と、そのテストで最も高い偏差値が出る場合の、最高偏差値との関係をグラフにしてみる</strong>。</p> <p><img src="https://d2l930y2yx77uc.cloudfront.net/production/uploads/images/11911983/picture_pc_39c29195db6e655061f97ec89ffa3251.jpg" alt="画像4" height="356" width="497" style="opacity: 1;"></p> <p><br></p> <p><strong>横軸が受験者数、縦軸が「理論上の最高偏差値」。</strong></p> <p><strong>1人だけでなぜかテストを受けて、「さあ偏差値いくつだろう!? ドキドキ」って言っても、比較対象がないから、何点だろうと偏差値50です。</strong></p> <p><strong>2人でテストを受けて、「勝負!」とやった場合、勝った方が偏差値60、負けた方が偏差値40となり、同点だったら2人とも偏差値50です。</strong></p> <p>で、まあなぜそうなるかは後述するけど、<strong>「偏差値70」を取るためには、最低でも5人の受験生がいなければいけない。</strong>5人のうち4人が0点で、1人だけ100点だったら、その人は「偏差値70」となる。</p> <p><strong>同じく、「偏差値80」なら10人必要だ。</strong></p> <p><br></p> <p>ではでは、もっともっとたくさんの人が受験していくと、どうなる!?</p> <p><img src="https://d2l930y2yx77uc.cloudfront.net/production/uploads/images/11912132/picture_pc_90cc02f1ba81e98e614116291107e52d.jpg" alt="画像5" height="356" width="497" style="opacity: 1;"></p> <p>うわー<strong>なんか100万人くらいで偏差値1万突破していってる~!</strong></p> <p>逆に考えると、100万人中99万9999人が満点取れるテストで、ミスって満点じゃないと、偏差値マイナス1万になるぞ。<strong>ギネス載るかも。</strong></p> <p><br></p> <p><img src="https://d2l930y2yx77uc.cloudfront.net/production/uploads/images/11916314/picture_pc_4425f3d434b1afdb25b640cee8285861.jpg" alt="画像6" height="451" width="181" style="opacity: 1;"></p> <p><br></p> <p>表にするとこんなん。</p> <p><br></p> <p>国連などによる<strong>世界人口の推計値は、2015年で73億人</strong>だそう。</p> <p>ということは、<strong>「世界中の人が同じテストを受けて、他の人は全員0点、自分だけ100点」だった場合でも、最高偏差値は86万6000程度までしか取れないのだ!</strong></p> <p>つまり、(人類だけで勝負している限り)、</p> <p><img src="https://assets.st-note.com/production/uploads/images/38852423/picture_pc_2b1812c81109df90e064d1ea32e4b5bc.jpg" alt="画像13" height="316" width="620" style="opacity: 1;"></p> <p><br></p> <p>と<strong>ドヤっていた東大生は、ウソついとるんじゃあ~!!!</strong></p> <p><strong>完全論破ァァァァァ!</strong></p> <p><br></p> <p>ちなみに、<strong>偏差値をただただ高めたいだけなら、ごく簡単</strong>だ。</p> <p><strong>「イーボンヌシャメンザリオフルソフゲスーパーマーケット!」</strong></p> <p>と<strong>発言した回数勝負を勝手に自分内で催したり</strong>、またはもっと<strong>公正に、「ある言葉を用意して、当選日まで暗号化してアップしておきます。当選日にピッタリ当たった方に100万円プレゼント!」とネットで告知して、上の文字列を答えとしておく</strong>とか。</p> <p>恐らく<strong>あなた以外の世界中の人はこれを発言したことが1度もなく、正解者はあなただけとなる</strong>。つまり、<strong>偏差値86万6000くらいを取るなど、いとも簡単なことなのだ!</strong></p> <p>これだけで取れるわけだ。</p> <p><br></p> <p>さて、残りは有料。</p> <p><br></p> <p>偏差値の計算方法、偏差値を最大化する分布についての証明、最初に出した問題への回答と、<strong>「受験者数と最高偏差値との関係」が、相当シンプルできれいな数式で表せる</strong>こと、そのグラフなどを示します。結構力作だと思います( ・ω・)</p> <p>読んでいただき、ありがとうございました!( ´ω` ∪)三(∪ ´ω` )</p> <p><br></p> <h1>問題を解く</h1> <p><br></p> <p>では、最初に出した問題を解いてみよう。</p>

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名誉天才。 ベストセラー戦術書『科学する麻雀(https://t.co/nF7AipbRuu )』著者。 元東京大学非常勤講師。 プロフィール(https://t.co/KgtBHQ4T8D) note:https://t.co/HW3gWdNlgI

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